Question

【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)過點A,離心率為,點F1,F2分別為其左、右焦點.

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P,Q,且?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由橢圓的離心率為可得，故橢圓的方程為，再根據點A在橢圓上得到，于是可得方程為．（2）假設滿足條件的圓存在,其方程為，然后分直線PQ的斜率存在和不存在兩種情況討論可得存在滿足題意得圓，其方程為；最后根據弦長公式和二次函數的知識得到|PQ|max=．

(1)由題意得e=,

所以，

故橢圓的方程為，

因為點A在橢圓上，

所以，

解得，

所以橢圓E方程為.

(2)假設滿足條件的圓存在,其方程為.

①當直線PQ的斜率存在時,設直線方程為,

由消去y整理得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0,

令P(x1,y1),Q(x2,y2),

則x1+x2=-,x1x2=.

∵,

∴x1x2+y1y2=0.

∴+m2=0.

∴5m2=4k2+4.

由直線PQ與圓相切,則r2=.

所以存在圓滿足題意，且圓的方程為.

②當直線PQ的斜率不存在時,也適合.

綜上所述,存在圓心在原點的圓滿足題意.

由弦長公式可得|PQ|=

.

又b2=k2+,

代入上式可得|PQ|=.

令4k2+1=t,即k2=,t≥1,

則|PQ|===,

當時,即k=±時,|PQ|max=.

當直線的斜率k不存在時,|PQ|=|y1-y2|=,

綜上可得|PQ|max=.