【題目】已知p3+q3=2,求證:p+q≤2.
【答案】假設p+q>2,則q>2-p,
根據冪函數y=x3的單調性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6
≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
這與題設p3+q3=2矛盾,從而假設不成立.
故p+q≤2成立.
【解析】
利用反證法，假設結論不成立，根據函數的單調性與整式的乘方運算，構造立方和的形式，證明假設的結論與題設矛盾，即可證得原結論正確.
假設p+q>2,則q>2-p,
根據冪函數y=x3的單調性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
這與題設p3+q3=2矛盾,從而假設不成立.
故p+q≤2成立.
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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）已知AP=AB=1，AD= 
，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E:
=1(a>b>0)過點A
,離心率為
,點F1,F2分別為其左、右焦點.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P,Q,且
?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】設
分別為橢圓
的左、右焦點，點
為橢圓
的左頂點，點
為橢圓的上頂點，且
.
（1）若橢圓的離心率為
，求橢圓的方程；
（2）設
為橢圓上一點，且在第一象限內，直線
與
軸相交于點
，若以
為直徑的圓經過點
，證明：點在直線
上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點M（x，y）到直線ι：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求點A的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),
=(3λ,4λ)(λ≠0),
=-4
,若拋物線y2=ax經過A和B兩點,則a的值為( )
A. 2 B. -2
C. -4 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，M－N＝992.
(1)判斷該展開式中有無x2項？若有，求出它的系數；若沒有，說明理由；
(2)求此展開式中有理項的項數．
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