Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x 使不等式2f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x= ，

當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

①當0＜t＜t+2≤ 時，t無解；

②當0＜t＜ ＜t+2時，即0＜t＜ 時， =﹣ ；

③當 ≤t＜t+2時，即t≥ 時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；

∴f（x）min= ．

（2）解：x 時，

2f（x）≥g（x）即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，亦即2lnx≥﹣x+a﹣ ，可化為2lnx+x+ ≥a，

令h（x）=2lnx+x+ ，則問題等價于h（x）max≥a，

h′（x）= +1﹣ = ，

當x∈[ ，1）時，h′（x）＜0，h（x）遞減；當x∈（1，e]時，h′（x）＞0，h（x）遞增；

又h（ ）=2ln + +3e=3e+ ﹣2，h（e）=2lne+e+ =e+ +2，

而h（e）﹣h（ ）=﹣2e+ +4＜0，所以h（e）＜h（ ），

故x 時，h（x）max=h（ ）=3e+ ﹣2，

所以實數a的取值范圍是：a≤3e+ ﹣2．

【解析】（1）對函數求導，根據導函數與0的關系寫出函數的單調性和區間，討論所給的區間和求出的單調區間之間的關系，在不同條件下做出函數的最值；（2）2f（x）≥g（x）可化為2lnx+x+ ≥a，令h（x）=2lnx+x+ ，則問題等價于h（x）max≥a，利用導數可求得x 時h（x）max；
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．