Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=6，a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2）．
（1）若d_n=

an

n(n+1)

，求數列{d_n}的通項公式；
（2）若b_n=

an

(n+1)(n+2)

•2n+1，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2），兩邊同除（n+1）（n+2），得到{

an

n(n+1)

}是首項為3、公差為1的等差數列，由此能求出d_n．
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2），b_n=n•2ⁿ⁺¹，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足：a₁=6，a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2），
∴等式兩邊同除（n+1）（n+2），得：

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+1，
又

a1

1×2

=3，∴{

an

n(n+1)

}是首項為3、公差為1的等差數列，
∴d_n=

an

n(n+1)

=3+（n-1）=n+2．
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2），
∴b_n=

an

(n+1)(n+2)

•2n+1=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②，得-T_n=2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n×2n+2
=2ⁿ⁺²-4-n×2n+2 ，
=-4-（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴Tn =（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．