Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點O₁為B₁D₁的中點．
（1）求證：AB₁∥面A₁O₁D；
（2）若AB=

2

3

AA₁，試問在線段BB₁上是否存在點E使得A₁C⊥AE，若存在求出

BE

BB1

，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AD₁交A₁D于點G，由中位線定理得到O₁G∥AB₁，再由線面平行的判定定理即可證得；
（2）若在線段BB₁上存在點E，使得A₁C⊥AE，連結A₁B交AE于點M，由線面垂直的性質和判定，得到AE⊥面A₁BC，
根據三角形相似的判定，得到Rt△ABE∽Rt△A₁AB，再由相似的性質得到存在點E有

BE

BB1

=

4

9

．

解答： （1）證明：連結AD₁交A₁D于點G，
∴在△AB₁D₁中，G為AD₁的中點，連結O₁G，
O₁為B₁D₁的中點，∴O₁G∥AB₁，
又O₁G?面A₁O₁D且AB₁?面A₁O₁D，
∴AB₁∥面A₁O₁D；
（2）解：若在線段BB₁上存在點E，使得A₁C⊥AE，
連結A₁B交AE于點M，又BC⊥面ABB₁A₁，且AE?面ABB₁A₁，
∴BC⊥AE，
又∵A₁C∩BC=C，且A₁C，BC?面A₁BC，
∴AE⊥面A₁BC，
∵A₁B?面A₁BC，
∴AE⊥A₁B，
在△AMB和△ABE中有：∠BAM+∠ABM=90°，∠BAM+∠BEA=90°，
∴∠ABM=∠BEA，同理：∠BAE=∠AA₁B，
∴Rt△ABE∽Rt△A₁AB，
∴

BE

AB

=

AB

AA1

，∵AB=

2

3

AA₁，∴BE=

2

3

AB=

4

9

BB₁，
即在線段BB₁上存在點E有

BE

BB1

=

4

9

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，考查直線與平面垂直的判定與性質，考查存在性問題，注意運用假設，推結論，是一道中檔題．