Question

如圖，平面內有三個向量

OA

，

OB

，

OC

，其中

OA

與

OB

的夾角為120°，

OA

與

OC

的夾角為150°，且|

OA

|=|

OB

|=1，|

OC

|=2

3

．若

OC

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），則λ+μ的值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：建立如圖所示的直角坐標系，可得點A，B，C的坐標，利用向量的坐標運算和向量相等即可得出．

解答： 解：∵

OA

與

OB

的夾角為120°，

OA

與

OC

的夾角為150°，
∴向量

OC

與

OB

的夾角為90°．
建立如圖所示的直角坐標系．
由于

OA

與

OB

的夾角為120°，|

OA

|=1．
∴A(-

3

2

，-

1

2

)，
又|

OB

|=1，|

OC

|=2

3

．
∴B（0，1），C(2

3

，0)．
又

OC

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），
∴(2

3

，0)=λ(-

3

2

，-

1

2

)+μ（0，1）=(-

3

2

λ，-

1

2

λ+μ)，
∴

- 3 2 λ=2 3 - 1 2 λ+μ=0

，解得

λ=-4 μ=-2

．
∴λ+μ=-6．
故答案為：-6．

點評：本題考查了向量的坐標運算和向量相等，屬于中檔題．