Question

已知矩陣A=

1 2 -1 4

（1）求矩陣A的特征值和特征向量；    
（2）若β=

-1 2

，求A⁵β

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算,幾種特殊的矩陣變換,二階行列式與逆矩陣

專題：計算題,矩陣和變換

分析：（1）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）由（1）的結論令向量

β

=m

α1

+n

α2

，求出m，n，故A⁵

β

=-3λ15

α1

+5λ25

α2

．代入特征向量即可得到．

解答： 解：（1）矩陣A的特征多項式為f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3，
將λ₁=2代入

(λ-1)x+(-2)y=0 x+(λ-4)y=0

，解得x-2y=0，
所以矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為

α1

=

2 1

；
同理，矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為

α2

=

1 1

．
（2）令

β

=m

α1

+n

α2

，則

-1 2

=m

2 1

+n

1 1

=

2m+n m+n

，
解得，m=-3，n=5，
∴

β

=-3

α1

+5

α2

，
∴A⁵

β

=-3λ15

α1

+5λ25

α2

=-3×2⁵×

2 1

+5×3⁵×

1 1

=

1023 1119

．

點評：本題給出二階矩陣，求矩陣A的特征值和特征向量．著重考查了特征向量的定義、求法及其性質等知識，屬于中檔題．