Question

【題目】對于函數，若存在實數，使得成立，則x0稱為f（x）的“不動點”．

（1）設函數，求的不動點；

（2）設函數，若對于任意的實數b，函數f（x）恒有兩相異的不動點，求實數a的取值范圍；

（3）設函數定義在上，證明：若存在唯一的不動點，則也存在唯一的不動點．

Answer 1

【答案】（1）的不動點為-1和2；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）設x為不動點，則有，得，解方程即可．

（2）證法一：設為不動點，則，否則設，則也為不動點，與已知存在唯一的不動點矛盾．由此能證明若存在唯一的不動點，則也存在唯一的不動點．

證法二：設a是的唯一不動點，．設，則，由唯一性，得到，從而a是的不動點．如果f有其它的不動點c，則c也是的不動點，由唯一性得，由此能證明若存在唯一的不動點，則也存在唯一的不動點．

解：（1）由函數，得

解得或，

∴的不動點為-1和2．

（2）由得：

由已知，此方程有相異二實根，恒成立，即

即對任意恒成立．

∴實數a的取值范圍是

證明：（3）證法一：設函數定義在上，存在唯一的不動點，

首先若為不動點，則

否則設，則也為不動點，

即不動點不唯一，與已知存在唯一的不動點矛盾．

∴有不動點時，的不動點也是的不動點，

∴若存在唯一的不動點，則也存在唯一的不動點．

證法二：設a是的唯一不動點，．

設，則

∴b也是的不動點．

由唯一性，得到，∴，從而a是的不動點．

如果f有其它的不動點c，則c也是的不動點，

由唯一性得，∴a是的唯一不動點．

故若存在唯一的不動點，則也存在唯一的不動點．