Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，為線段的中點.將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可證明，利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而得，由線面垂直的判定定理可得平面，進而利用面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）作,以為軸建立坐標系，分別利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）在圖1中，可得，從而，故，

取中點連結(jié),則，又面面，

面面面，從而平面，∴，

又，∴平面，故平面平面；

（2）

建立空間直角坐標系如圖所示，則，

，

設(shè)為面的法向量，

則即，解得，

令，可得，

又為面的一個法向量，

∴，∴二面角的余弦值為.