Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）若函數在其定義域內單調遞減,求實數的取值范圍;

（Ⅱ）若,且關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）的定義域是，由于函數在其定義域內單調遞減，所以在時恒成立，即在恒成立.解法一：因為，所以二次函數開口向下，對稱軸，問題轉化為；即可求出a的范圍；解法二，分離變量，得在恒成立，即，當時，取最小值，即可求出a 的范圍；（Ⅱ）由題意，即，

設則列表可知，，又，方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根.根據函數圖象可知， 即可求出b的范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）的定義域是，求導得

依題意在時恒成立，即在恒成立.

這個不等式提供2種解法，供參考

解法一：因為，所以二次函數開口向下，對稱軸，問題轉化為

所以，所以的取值范圍是

解法二，分離變量，得在恒成立，即

當時，取最小值，∴的取值范圍是

（Ⅱ）由題意，即，

設則列表：

		極大值		極小值

∴，，又方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根.

則， 得（注意）