Question

【題目】設圓的圓心為A，直線過點B（1,0）且與軸不重合，交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明：為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點，過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點， 求證：是定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（I）（）；（II）

【解析】

（I）根據幾何關系，即可證明為定值，再利用橢圓的定義即可求出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）利用點斜式設出直線的方程，與橢圓方程聯立方程組，得到關于的一元二次方程，利用根與系數關系以及弦長公式表示出，同理可得，代入中進行化簡即可證明為定值。

（I）因為，，故，

所以，故.

又圓的標準方程為，從而，

所以，由題設得，，，

由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.

（II）依題意：與軸不垂直，設的方程為,,.

由得,.

則，.

所以.

同理： 故(定值)