Question

【題目】已知函數

(1)若函數在區間[0,1]上存在零點，求實數的取值范圍；

(2)當時，若對任意∈[0,4]，總存在∈[0,4]，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) [－,1]． (2) m≥2或 m≤－2.

【解析】

（1）由題意，函數，得到其對稱軸為，要使得函數在有零點，則滿足且，即可求解；

（2）當時，分別求得函數的值域，得到集合，再由題意對于任意∈[0,4]，總存在∈[0,4]，使成立，轉化為，根據集合的運算即可求解.

(1)

∵f(x)＝x2－4x＋2a＋1＝(x－2)2＋，

∴函數f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2，要使f(x)在[0,1]上

有零點，其圖象如圖，則即∴－≤a≤1.

所以所求實數a的取值范圍是[－,1]．

(2)當a＝1時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.

∴當x∈[0,4]時，f(x)∈[－1,3]，記A＝[－1,3]．

由題意知

當m=0時g(x)=3顯然不適合題意..

當m＞0時，g(x)＝mx＋3－2m在[0,4]上是增函數，∴g(x)∈[3－2m, 2m+3]，記B＝[3－2m, 2m+3]，由題意，知AB.

∴解得m≥2.

當m＜0時，g(x)＝mx＋3－2m在[0,4]上是減函數，∴g(x)∈[2m+3,3－2m]，記C＝ [2m+3,3－2m]，

由題意，知AC.∴解得m≤－2.

綜上所述:m≥2或 m≤－2.