Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線(xiàn)互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線(xiàn)的斜率存在，并記為，求的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中的定值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問(wèn)，利用圓的半徑、直線(xiàn)與圓相切，得到，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，解出，從而得到圓的方程；第二問(wèn)，由于直線(xiàn)與圓相切，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到，再根據(jù)解出的值；

試題解析：（1）由圓的方程知圓的半徑，因?yàn)橹本�(xiàn)互相垂直，且和圓相切，所以，即

①

又點(diǎn)在橢圓上，所以 ②

聯(lián)立①②，解得，

所以，所求圓的方程為

．

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)和都與圓相切，所以，，

化簡(jiǎn)得，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，

所以．