Question

【題目】已知橢圓，三點(diǎn)中恰有二點(diǎn)在橢圓上，且離心率為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)， 為橢圓的左右頂點(diǎn)， 為中點(diǎn)，求證：直線與直線它們的斜率之積為定值；

（3）若橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓交于，求證：直線與直線斜率之和為定值。

Answer 1

【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)橢圓性質(zhì)判斷得在橢圓上，代入橢圓方程并與離心率聯(lián)立解得（2）設(shè)，用坐標(biāo)表示，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)求值，（3）設(shè)，用坐標(biāo)表示聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代人化簡(jiǎn)可得定值.

試題解析：（1）由橢圓性質(zhì)得：

在橢圓上，

得：

（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)， ，

得：

（3）設(shè)直線： ，設(shè)聯(lián)立得：

，

代入得，