Question

【題目】用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．

（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）共有30個(gè)符合題意的三位偶數(shù)。

（Ⅱ）共有20個(gè)符合題意的“凹數(shù)

（Ⅲ）共有28個(gè)符合題意的五位數(shù)

【解析】

試題分析：在正自然數(shù)中，零不能處在最高位，（1）偶數(shù)的個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，所以只能為0，2，4，根據(jù)排列公式求出偶數(shù)個(gè)數(shù)即可；（2）由題意可知十位數(shù)可為0，1，2，分別從剩余的數(shù)字中取兩個(gè)進(jìn)行排列；（3）5個(gè)數(shù)字中只有兩個(gè)奇數(shù)，所以可將1，3以及夾在中間的偶數(shù)看作整體，并與剩余的兩個(gè)偶數(shù)進(jìn)行排列計(jì)算．

試題解析：（1）將所有的三位偶數(shù)分為兩類：

（i）若個(gè)位數(shù)為，則共有（個(gè)）；

（ii）若個(gè)位數(shù)為或，則共有（個(gè)），

所以，共有個(gè)符合題意的三位偶數(shù)．

（2）將這些“凹數(shù)”分為三類：

（i）若十位數(shù)字為，則共有（個(gè)）；

（ii）若十位數(shù)字為，則共有（個(gè)）；

（iii）若十位數(shù)字為，則共有（個(gè)），

所以，共有個(gè)符合題意的“凹數(shù)”．

（3）將符合題意的五位數(shù)分為三類：

（i）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，則共有（個(gè)）；

（ii）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在二、四位置，則共有（個(gè)）；

（iii）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在三、五位置，則共有（個(gè)），

所以，共有個(gè)符合題意的五位數(shù)．