Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）是否存在實數，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為和，單調減區間為；(2)答案見解析.

【解析】試題分析： 求得函數f（x）的定義域，求導函數，對a討論，利用導數的正負，即可確定函數f（x）的單調區間；

（2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”.即可轉化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．

試題解析：

（1）函數的定義域為，

1）當時，由得， 或，由得，

故函數的單調遞增區間為和，單調減區間為

2）當時， ， 的單調增區間為

（2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”.

即可轉化為恒成立.

令，則只需在恒成立即可，

，

當時，在時， ，在時，

的最小值為，由得，

故當時， 恒成立，

當時， ， 在不能恒成立，

當時，取，有， 在不能恒成立，

綜上所述，即時，至少有一個，使成立.