Question

【題目】已知是奇函數．

（1）求實數的值；

（2）求函數在上的值域；

（3）令，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）①當時，值域為； ②當時，值域為；

（3）.

【解析】

（1）由奇函數得，可解出；（2）先換元（），則，，再結合二次函數的圖像討論其值域；（3）先證到也為奇函數，用導數證得 在上單調增，將等價轉化為，所以，解出答案即可.

（1）函數的定義域為，因為為奇函數，由可知，，

所以，即；

當時，，此時為奇函數

所以．

（2）令（），所以

所以，對稱軸，

①當時，，所求值域為；

②當時，，所求值域為；

（3）因為為奇函數，所以

所以為奇函數，

所以等價于，

又當且僅當時，等號成立，

所以在上單調增，

所以，

即，又，

所以或．所以不等式的解集是．