Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由三角形的邊角關系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.

（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，

∴，

∴，

∴，

因為底面，底面，

∴.

因為，底面，底面，

底面，

底面，

所以面面.

（2）由（1）可知為與平面所成的角，

∴，∴，，由及，

可得，，

以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，

則

，，，，

設平面的法向量為，

則，，取，

設平面的法向量為，

則，，取，

所以，所以二面角余弦值為.