Question

【題目】某高校為增加應屆畢業生就業機會，每年根據應屆畢業生的綜合素質和學業成績對學生進行綜合評估，已知某年度參與評估的畢業生共有2000名，其評估成績近似的服從正態分布．現隨機抽取了100名畢業生的評估成績作為樣本，并把樣本數據進行了分組，繪制了頻率分布直方圖：

（1）求樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）若學校規定評估成績超過分的畢業生可參加三家公司的面試．

（ⅰ）用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，請利用估計值判斷這2000名畢業生中，能夠參加三家公司面試的人數；

（ⅱ）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三個崗位，崗位工資表如下：

公司	甲崗位	乙崗位	丙崗位
	9600	6400	5200
	9800	7200	5400
	10000	6000	5000

李華同學取得了三個公司的面試機會，經過評估，李華在三個公司甲、乙、丙三個崗位的面試成功的概率均為,李華準備依次從三家公司進行面試選崗，公司規定：面試成功必須當場選崗，且只有一次機會．李華在某公司選崗時，若以該崗位工資與未進行面試公司的工資期望作為抉擇依據，問李華可以選擇公司的哪些崗位？

并說明理由．

附：，若隨機變量，

則．

Answer 1

【答案】（1）70，161；（2）（ⅰ）317人；（ⅱ）李華可以選擇公司的甲崗位，公司的甲、乙崗位，公司的三個崗位．

【解析】

（1）由樣本平均數定義直接計算即可得到平均數，由樣本方差公式直接計算即可得到樣本方差，問題得解。

（2）（ⅰ）利用正態分布的對稱性直接求解。

（ⅱ）利用表中數據求得B公司的工資期望為7260（元），C公司的工資期望為6800（元），由表中數據即可抉擇。

（1）由所得數據繪制的頻率直方圖，得：

樣本平均數＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70；

樣本方差s2＝（45－70）2×0.05＋（55－70）2×0.18＋（65－70）2×0.28＋（75－70）2×0.26＋（85－70）2×0.17＋（95－70）2×0.06＝161；

（2）（i）由（1）可知，，，故評估成績Z服從正態分布N（70，161），

所以．

在這2000名畢業生中，能參加三家公司面試的估計有2000×0.1587≈317人．

（ii）李華可以選擇A公司的甲崗位，B公司的甲、乙崗位，C公司的三個崗位．

理由如下：

設B、C公司提供的工資為XB，XC，則XB，XC都為隨機變量，其分布列為

公司	甲崗位	乙崗位	丙崗位
XB	9800	7200	5400
XC	10000	6000	5000
P	0.3	0.3	0.4

則B公司的工資期望：E（XB）＝9800×0.3＋7200×0.3＋5400×0.4＝7260（元），

C公司的工資期望：E（XC）＝10000×0.3＋6000×0.3＋5000×0.4＝6800（元），

因為A公司的甲崗位工資9600元大于B、C公司的工資期望，乙崗位工資6400元小于B、C公司的工資期望，故李華先去A公司面試，若A公司給予甲崗位就接受，否則去B公司；B公司甲、乙崗位工資都高于C公司的工資期望，故B公司提供甲、乙崗位就接受，否則去C公司；在C公司可以依次接受甲、乙、丙三種崗位中的一種崗位．