Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．
（3）當二面角B—PC—D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）根據題意，由于面ABCD，四邊形ABCD是正方形，結合其性質可知PA⊥BD，AC⊥BD，進而得到證明。
（2）當G為EC中點    （3）

解析試題分析：解：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
其對角線BD，AC交于點E，∴PA⊥BD，AC⊥BD   
∴BD⊥平面APC，平面PAC，
∴BD⊥FG        3分
（II）當G為EC中點，即時，FG//平面PBD， 4分
理由如下：
連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD．    7分
（III）作BH⊥PC于H，連結DH，
∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，    9分
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角   10分
連結EH，則



∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分
方法二解：以A為原點，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

設正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）

    …………3分
（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，
而，
由可得，解得
    …………6分

故當時，FG//平面PBD …………7分
設平面PBC的一個法向量為
則，而
，取z=1，得，
同理可得平面PBC的一個法向量
設所成的角為0，
則
即
        …………10分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，
      
∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分
考點：空間中的線面角以線線垂直的證明
點評：主要是考查了空間中的線線以及線面的位置關系的運用，以及線面角的求解，屬于中檔題。