Question

【題目】設函數.

(1)當時，討論函數的單調性；

(2)若使得不等式成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調遞增，在上單調遞減；

(2) ；

【解析】

（1）求函數的導數，研究函數的單調性即可

（2）利用參數分離法轉化為最值問題，構造函數求函數的最值即可

(1)當時，，，

當時，；當時，；當時，，

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)，使得不等式成立.

即，使得不等式成立.

等價于，使得不等式成立.

令，，則.

設，則，

顯然函數在是增函數.

因為，，且函數的圖象在上連續，

所以，使得，

且當時，；當時，.

所以函數存在極小值，也是最小值.

所以，

其中，滿足，即.

所以，即.

所以.

所以當時，.

所以在內單調遞增.

所以.

所以有，

即實數的取值范圍為．