Question

【題目】已知是橢圓的兩個焦點,為坐標原點,離心率為,點在橢圓上．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)為橢圓上三個動點,在第二象限,關于原點對稱,且,判斷是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時點的坐標,若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,最小值為,

【解析】

(1)把點的坐標代入橢圓方程中,再求出離心率的表達式,最后根據三者之間的關系,可以求出的值,最后寫出橢圓的標準方程；

(2)利用平面向量數量積的定義,化簡的表達式,可以發現只需判斷面積是否有最小值,設出直線的方程,與橢圓的方程聯立,利用一元二次方程的根與系數的關系,求出的表達式,同理求出的表達式,最后確定面積的表達式,利用基本不等式可以求出面積的最小值,最后求出點的坐標.

(1)點在橢圓上,則,

又，,

解得,,

橢圓的方程為；

（2）,

只需判斷面積是否有最小值.

設直線的方程為,

設,,

聯立,得,

所以,

因為，同理可知,

,

此時,

因為即時,最小值為,

易知直線的方程為,

聯立,解得,即.