【題目】設函數
為常數．
（1）當
時，求函數
的圖象在點
處的切線方程；
（2）若函數有兩個不同的零點
，
，
①當
時，求
的最小值；
②當
時，求
的值．
【答案】（1）
（2）①
②
【解析】
（1）利用導數求得函數在
處切線的斜率，結合切點坐標，利用點斜式寫出切線方程.
（2）①利用
的二階導數，求得的最小值的表達式，利用
，對
進行分離常數，由此求得的取值范圍，進而求得的最小值. ②當
時，假設
是函數的零點，證得
也是函數的零點，也即
，由此求得.
（1）當
時，
，
，
，
，
故所求切線的方程為
，即.
（2）①，令
，則
，
當
時
恒成立，故
在
上遞減，
令
得
，故在
上遞增，
又
，
，的圖象在
上連續不間斷，
所以存在唯一實數
使得
，
故
時
，
時
，所以
在
上遞減，在
上遞增，
∴
，由得
，
∴
，
因為函數有兩個不同的零點，
，所以，得
，
由
易得
，故整數
，
當
時，
，滿足題意，
故整數的最小值為.（也可以用零點存在性定理給出證明)
注：由
得
，不能得到.
②當時，
，
不妨設
，由
及的單調性可知
，
由
得
，
∴
，
故函數有兩個不同的零點，，
又由的單調性可知有且僅有兩個不同的零點，，
∴，∴.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
、
、
是三條不同的直線，
、
、
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，
，
，
，則
；
②若
，
，則
；
③若，是兩條異面直線，
，
，
，
且，則
；
④若
，，
，，，則
.
其中正確命題的序號是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
中心在原點，焦點在坐標軸上，直線
與橢圓在第一象限內的交點是
，點在
軸上的射影恰好是橢圓的右焦點
，橢圓另一個焦點是
，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
過點
，且與橢圓交于
兩點，求
的內切圓面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足
.
（1）證明：數列為等差數列；
（2）設數列的前n項和為
，若
，且對任意的正整數n，都有
，求整數
的值；
（3）設數列
滿足
，若
，且存在正整數s，t，使得
是整數，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為慶祝新中國成立七十周年，巴蜀中學將舉行“歌唱祖國，喜迎國慶”歌詠比賽活動，《歌唱祖國》，《精忠報國》，《我和我的祖國》等一系列歌曲深受同學們的青睞，高二某班級就該班是否選擇《精忠報國》作為本班參賽曲目進行投票表決，投票情況如下表.
小組 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
贊成人數 | 4 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 4 | 3 |
總人數 | 7 | 7 | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 |
（1）若從第1小組和第8小組的同學中各隨機選取2人進行調查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的概率；
（2）若從第5小組和第7小組的同學中各隨機選取2人進行調查，記選取的4人中不贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
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