Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ，且， ， ， 為線段上一點， ，且為的中點.

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）運用兩線面平行的判定定理分析推證；（2）運用面面垂直的判定定理分析推證；（3）依據題設條件運用線面角的定義先找出線面角，再借助解三角形的知識求解：

（1）取，中點，，連，，，由為中點，所以，且.由，，則，又，則.

所以四邊形為平行四邊形，所以，且面，面，則面.

（2）∵，∴，又，所以四邊形為平行四邊形，故.又∵面.面，∴.又，所以面，∵面，∴面面.

（3）過作，垂足為.由（2）知面面，面面，面，∴面，連接，.

則為在平面上的射影，∴為與平面所成角. 中

，

，，

∴與平面所成角正弦值為.