Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．

（1）求證：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，

∴DE⊥平面A1CD，

又∵A1C平面A1CD，∴A1C⊥DE

又A1C⊥CD，CD∩DE=D

∴A1C⊥平面BCDE

（2）解：如圖建系，則C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2 ），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）

∴ ，

設平面A1BE法向量為

則 ∴ ∴

∴

又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）

∴

∴CM與平面A1BE所成角的大小45°

（3）解：設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]

∴ ，

設平面A1DP法向量為

則 ∴

∴

假設平面A1DP與平面A1BE垂直，則 ，

∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2

∵0≤a≤3

∴不存在線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直

【解析】（1）證明A1C⊥平面BCDE，因為A1C⊥CD，只需證明A1C⊥DE，即證明DE⊥平面A1CD；（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面A1BE法向量 ， =（﹣1，0， ），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A1BE所成角的大小；（3）設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量為
假設平面A1DP與平面A1BE垂直，則 ，可求得0≤a≤3，從而可得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)，還要掌握向量語言表述面面的垂直、平行關系(若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證;要證，只需證，即證)的相關知識才是答題的關鍵．