Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且，對任意的且 時，有成立．

（1）判斷在上的單調性，并用定義證明；

（2）解不等式；

（3）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）利用函數單調性的定義，結合函數為奇函數以及題目所給已知條件，證得，由此判斷出函數在上遞增.（2）根據函數的定義域和單調性列不等式組，解不等式組求得不等式的解集.（3）根據的單調性，將問題轉化為，對恒成立問題來求解，構造函數，結合一次函數的性質列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）證明任取且，則，

∵為奇函數，∴,

∴

由已知得，,

∴，即，∴在上單調遞增．

(2)∵在上單調遞增，∴，解得 .

不等式的解集為

(3)∵，在上單調遞增，∴在上，.

問題轉化為，即，對恒成立．

設.

①若，則，對恒成立．

②若，則為的一次函數，若，對恒成立，必須，且，∴或.

∴的取值范圍是或或.