Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的一個上界．已知函數，．

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，求函數在區間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以5為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）利用奇函數的定義，建立方程，即可求解實數的值．（2）求出函數在區間上的值域為，結合新定義，即可求得結論；（3）由題意得函數在上是以為上界的有界函數，即在區間上恒成立，可得上恒成立，求出左邊的最大值右邊的最小值，即可求實數的范圍．

試題解析：（1）因為函數為奇函數，

所以，即，

即，得，而當時不合題意，故．

（2）由（1）得：，

而，易知在區間上單調遞增，

所以函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的值域為，所以，

故函數在區間上的所有上界構成集合為．

（3）由題意知，在上恒成立，

，．

∴在上恒成立．

∴

設，，，由，得．

易知在上遞增，

設，，

所以在上遞減，

在上的最大值為，在上的最小值為，

所以實數的取值范圍為．