Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若曲線與直線相切，求的值.

（Ⅱ）若設求證：有兩個不同的零點，且.（為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）設切點，由導數的性質可得結合切點在函數上，可得

（Ⅱ）不妨設，，則在上單調遞減，由函數零點存在定理可得存在，使得，分類討論有：①當時，在區間上存在零點，且.②當時,在區間上必存在零點，且.據此即可證得題中的結論.

（Ⅰ）設切點

又切點在函數上，即

（Ⅱ）不妨設，，所以在上單調遞減，

又，

所以必存在，使得，即

.

①當時，，

所以在區間上單調遞減，

注意到，

所以函數在區間上存在零點，且.

②當時,所以在區間上單調遞增，

又，

且，

所以在區間上必存在零點，且.

綜上，有兩個不同的零點、，且.