Question

【題目】在中，，以的中線為折痕，將沿折起，如圖所示，構成二面角,在面內作，且．

（1）求證：∥平面；

（2）如果二面角的大小為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據計算得為等腰直角三角形，所以從而∥，根據線面平行判定定理得結論，（2）根據二面角定義得面面，再根據面面垂直性質定理得面，設中點為，根據計算可得，，即得為二面角的平面角，最后根據解三角形得結果.

（1）由得，所以為等腰直角三角形，由為的中點得，以的中線為折痕翻折后仍有

因為，所以∥，

又平面，平面，所以∥平面．

（2）因為二面角的大小為，所以面面，

又面面,，所以面，

因此，又，所以面，從而．

由題意，所以中，．設中點為，因為，所以，且，設中點為，則∥，由得，所以為二面角的平面角，

連結，在中，因為，所以．

在中，

于是在中，．

在中，，

所以在中，．

因此二面角的余弦值為