Question

若直線ax+2by-2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，則

1

a

+

2

b

的最小值為______，ab的取值范圍是______．

Answer 1

x²+y²-4x-2y-8=0可化為：（x-2）²+（y-1）²=13，∴圓的圓心是（2，1）
∵直線平分圓的周長，所以直線恒過圓心（2，1）
把（2，1）代入直線ax+2by-2=0，得a+b=1
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

∵a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

0≤ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

故答案為：3+2

2

，(0，

1

4

]