Question

設函數f（x）=alnx+x²+bx（a，b∈R，a≠0，且x=1為f（x）的極值點．
（1）當a=1時，求f（x）的單調遞減區間；
（2）若f（x）=0恰有兩解，試求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設g（x）=f（x+1）-x²+x+2，證明：

n

k=1

1

g(k)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，利用x=1為f（x）的極值點，可得a+b+2=0，當a=1時，利用導數小于0，可求f（x）的單調遞減區間；
（2）分類討論，結合f（x）=0恰有兩解，求實數a的取值范圍；
（3）當a=1時，g（x）=ln（x+1），即證：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

．先證明：當x≤2時，lnx＜

1

4

（x²-1），可得

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）．令x=k+1，得

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），疊加，即可證明結論．

解答： 解：由已知求導得：f′（x）=

a

x

+2x+b，
∵x=1為f（x）的極值點，∴f′（1）=0，∴a+b+2=0．…2分
（1）當a=1時，b=-3，
進而f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

，
∵函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f（x）的單調減區間為（

1

2

，1）． …4分
（2）由a+b+2=0，得b=-a-2，則f（x）=alnx+x²-（a+2）x，（x＞0），
f′（x）=

(2x-a)(x-1)

x

，（x＞0），
（ⅰ）當a＜0時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，則f（x）的極小值為f（1），
∵lnx≤x-1，∴f（x）≥x²-2x-a，
則當x→+∞時，f（x）→+∞，
又∵當x→0⁺時，f（x）→+∞，∴要使f（x）=0恰有兩解，須f（1）＜0，即a＞-1．
因此，當-1＜a＜0時，f（x）=0恰有兩解．
（ⅱ）當0＜a＜2時，f（x）在（0，

a

2

）、（1，+∞）遞增，在（

a

2

，1）遞減，
則f（x）的極大值為f（

a

2

），f（x）的極小值為f（1）．
∵f（

a

2

）=aln

a

2

+

a2

4

-（

a2

2

+a）≤a（

a

2

-1）+

a2

4

-（

a2

2

+a）=

a

4

（a-8），
∴當0＜a＜2時，f（

a

2

）＜0，此時f（x）=0不可能恰有兩解．
（ⅲ）當a＞2時，f（x）在（0，1）、（

a

2

，+∞）遞增，在（1，

a

2

）遞減，
則f（x）的極大值為f（1），f（x）的極小值為f（

a

2

）．
∵f（1）=-a-1＜0，∴當a＞2時，f（x）=0不可能恰有兩解．
（ⅳ）當a=2時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，f（x）=0不可能恰有兩解．
綜合可得，若f（x）=0恰有兩解，則實數a的取值范圍是-1＜a＜0．…9分
（3）當a=1時，g（x）=ln（x+1），
即證：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

．
由于

3n2+5n

(n+1)(n+2)

=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

）． 
所以原題轉化為證明：：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

），也就是證明

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），設k+1=x，進一步轉化為證明

1

lnx

＞2（

1

x-1

-

1

x+1

）=

4

(x-1)(x+1)

，
即證明lnx＜

1

4

（x²-1）．
因此先證明：當x≥2時，lnx＜

1

4

（x²-1）．
設h（x）=lnx-

1

4

（x²-1），h′（x）=

2-x2

2x

，
當x≥2時，h′（x）＜0，則h（x）在（2，+∞）遞減，h（x）≤h（2），
∵e³＞16，∴3＞ln16=4ln2，即ln2＜

3

4

，
∴h（2）=ln2-

3

4

＜0，∴h（x）＜0，即lnx＜

1

4

（x²-1）．
∴

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）．
令x=k+1，得

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），
則

n

k=1

1

ln(k+1)

＞2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

）=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

(n+1)(n+2)

． …14分

點評：本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，考查利用導數研究函數的極值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．