Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點.

（1）求證：平面平面PBC；

（2）設二面角的平面角為，試判斷在線段AB上是否存在這樣的點F，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在；

【解析】

（1）根據平面與平面垂直的性質易知平面，從而，由三線合一易證，從而平面，即可由面面垂直的判定定理證明平面平面PBC；

（2）在平面內過作交于點，以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并由題意設，表示出平面的法向量和平面的法向量.根據同角三角函數關系式可由求得，結合空間向量夾角運算求得的值，進而確定的值.

（1）四邊形是正方形，

∴.

∵平面平面平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，點為線段的中點，

∴.

又∵，

∴平面.

又∵平面，

∴平面平面.

（2）由（1）知平面，

∵，

∴平面.

在平面內過作交于點，

∴，故，，兩兩垂直，以為原點，

以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

因為，

，∴.

∵平面，則，，

又為的中點，，假設在線段上存在這樣的點，使得，設，，，

設平面的法向量為，則

∴，令，則

，則

平面，

平面的一個法向量，，則

∴.

，解得，

∴