Question

【題目】已知數列為等比數列,公比為為數列的前項和.

(1)若求

(2)若調換的順序后能構成一個等差數列,求的所有可能值；

(3)是否存在正常數使得對任意正整數不等式總成立?若存在,求出的取值范圍；若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)17;

(2) 的所有可能值為;

(3) 存在正常數使得對任意正整數不等式總成立，且的取值范圍為.

【解析】

先求出公比，再利用等比數列的前項和公式即可求解；

對所有調換的順序分情況求解即可；

先化簡不等式，然后以與1的大小比較分情況討論即可.

（1） 由得，解得或（舍去），

（2） 當時，任何順序都能構成一個等差數列；

若成一個等差數列，則，所以或；

若成一個等差數列，則，所以或；

若成一個等差數列，則，所以或；

若成一個等差數列，則，所以或；

若成一個等差數列，則，所以，

故的所有可能值為.

(3) 由為正常數，可知，故等價于.

當時，，,顯然不滿足題意；當時，,若，則，顯然當，故不存在這樣的；若，則，顯然當，故只需，所以存在正常數使得對任意正整數不等式總成立，且的取值范圍為.