Question

函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）的最小正周期是8．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式和輔助角公式，化簡函數(shù)解析式，然后，利用周期公式，確定ω的值，最后，結合三角函數(shù)的圖象與性質求解函數(shù)值域；
（Ⅱ）根據(jù)（1），求解x₀的值，然后，再求解f（x₀+1）的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3
=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）
=2

3

sin（ωx+

π

3

）．
函數(shù)的周期是2，∴T=2，ω=

2π

T

=π．
2

3

sin（πx+

π

3

）∈[-2

3

，2

3

]．
∴函數(shù)f（x）的值域：[-2

3

，2

3

]．
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），∴2

3

sin（πx₀+

π

3

）=

8 3

5

．∴sin（πx₀+

π

3

）=

4

5

．
f（x₀+1）=2

3

sin（πx₀+

π

3

+π）=-2

3

sin（πx₀+

π

3

）=-

8 3

5

．

點評：本題綜合考查了二倍角公式、輔助角公式等，注意周期公式在解題中的靈活運用，屬于中檔題．