Question

拋物線y=-

1

8

x²的準線與y軸交于A點，過A作直線與拋物線交于M，N兩點，點B在拋物線的對稱軸上，（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0．
（1）求|

OB

|的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點B，使得△BMN為等腰直角三角形且∠B=90°，若存在求出點B，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點P（x₀，y₀），聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點坐標公式可求MN的中點P，由（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，可得BP⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點即是B，令x=0可求B的縱坐標，結(jié)合k的范圍可求|

OB

|的范圍；
（2）若存在點B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°，則有（1）可知|BP|=

|MN|

2

，由兩點間的距離公式及弦長公式分別求出等式兩邊的長度（用含有k的代數(shù)式表示），兩邊平方后即可求解k的值，則答案可求．

解答： 解：（1）由題意可得A（0，2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），
聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴E（-4k，2-4k²）
∵（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，
∴BP⊥MN即M在MN的垂直平分線
∴MN的垂直平分線y+4k²-2=-

1

k

(x+4k)與y軸的交點即是B，
令x=0，可得y=-2-4k²，則|

OB

|=2+4k²＞6；
（2）存在點B（0，10）為所求．
事實上，若存在點B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．
∵由（1）知PB垂直平分線段MN，
∴|BP|=

|MN|

2

，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=

(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2

=4

k2+1

．

|MN|

2

=

1

2

1+k2

•

64k2-64

=4

k4-1

．
∴4

k2+1

=4

k4-1

．
解得，k²=2，
∴點B（0，10）為所求．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是能有題意得到相應的等式，訓練了弦長公式的應用，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．