Question

設函數f（x）=x⁴+ax³+x²+b．若f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用

分析：由f′（x）=x（4x²+3ax+2），f（x）僅在x=0處有極值，得（3a）²-4•4•2=9a²-32≤0，此時，x∈（-∞，0），f′x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0f（x）僅在x=0處有極小值，從而求出a的范圍．

解答： 解：f′（x）=x（4x²+3ax+2）
因f（x）僅在x=0處有極值，等價于4x²+3ax+2≥0
對x∈R恒成立，
即（3a）²-4•4•2=9a²-32≤0，
得-

4 2

3

≤a≤

4 2

3

，
此時，x∈（-∞，0），f′（x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0
f（x）僅在x=0處有極小值，所求a的范圍是：[-

4 2

3

，

4 2

3

]．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，是一道基礎題．