Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F₁，F₂．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比數列，求此橢圓的離心率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的定義知，|AF₁|=a-c，|F₁F₂|=2c，|BF₁|=a+c，由于|AF₁|，|F₁F₂|，|BF₁|成等比數列，可得4c²=（a+c）（a-c），再利用離心率計算公式解出即可．

解答： 解：由橢圓的定義知，|AF₁|=a-c，|F₁F₂|=2c，|BF₁|=a+c，
∵|AF₁|，|F₁F₂|，|BF₁|成等比數列，
∴4c²=（a+c）（a-c），
整理得5c²=a²，
∴e²=

c2

a2

=5，
解得e=

5

5

．

點評：本題考查了橢圓的定義及其性質、等比數列的性質，屬于基礎題．