Question

【題目】已知雙曲線： 的離心率， 、為其左右焦點，點在上，且， ， 是坐標原點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與雙曲線交于兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題（1）先由離心率得出的關系，再由與求得，從而求得雙曲線方程；（2）先得出的坐標，再分直線的斜率是否存在討論，當直線的斜率存在時，設出直線的方程，然后聯立雙曲線方程，利用韋達定理即可求得的取值范圍．

試題解析：（1）由，得， ，

故雙曲線的方程為，即 ．

由，得， ．

又， ，∴

∴雙曲線的方程為．

（2）由（1）知點的坐標分別為．

當直線的斜率不存在時，得；

當直線的斜率存在時，設其方程為，并設，

由，得，依題意知，

∴，

將， 代入上式化簡得：

，由及，得或．

綜上可知的取值范圍是．