Question

【題目】設為常數，函數.給出以下結論：

①若，則在區間上有唯一零點；

②若，則存在實數，當時， ；

③若，則當時，.

其中正確結論的個數是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意可得f（x）過原點，求得f（x）的導數，可得單調性、極值和最值，即可判斷①；結合最小值小于0，以及x的變化可判斷②③．

函數f（x）＝ex（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒過原點，

①，若a＞1，由f（x）的導數為f′（x）＝ex（x﹣a+1），

即有x＞a﹣1時，f（x）遞增；x＜a﹣1時，f（x）遞減，

可得x＝a﹣1處取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣ea﹣1，

由ex≥x+1，可得a﹣ea﹣1＜0，又f(a)=a>0

則f（x）在區間（a﹣1，a）上有唯一零點，故正確；

②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值為f（a﹣1）＜0，

且x→+∞時，f（x）→+∞，可得存在實數x0，當x＜x0時，f（x）＞0，故正確；

③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值為f（a﹣1）＜0，且x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，

當x＜0時，f（x）＜0，故正確．

故選：D．