Question

甲、乙、丙三人分別獨立解一道數學題，已知甲做對這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯的概率是，乙、丙兩人都做對的概率是．
（1）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（2）求做對該題人數隨機變量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點有：等可能事件的概率，離散型隨機變量及其分布列、期望與方差，是一道相對綜合的概率問題，
（1）我們根據甲做對這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯的概率是，乙、丙兩人都做對的概率是．不難構造方程組，求出乙和丙做對該題的概率．
（2）根據（1）的結論，根據分布列及數學期望的計算公式，易得到最終結果．
解答：解：記甲、乙、丙三人獨立做對這道題的事件依次為A、B、C，
則由已知條件得：P（A）=
又∵P（•）=[1-P（A）][1-P（C）]=，∴P（C）=
又∵P（B•C）=P（B）•P（C）=，∴P（B）=
乙、丙三人各自做對這道題的概率分別為，
（2）隨機變量ξ的可能值為0，1，2，3，則
P（ξ=0）=P（）P（）P（）==
P（ξ=1）=P（A）P（）P（）+P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）=
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（）P（C）=
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（C）=
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=
點評：若A事件發生的概率為P（A），B事件發生的概率為P（B），則
①A，B同時發生的概率為P（A）P（B）；
②A，B同時不發生的概率為P（）P（）；
③A不發生B發生的概率為P（）P（B）；
④A發生B不發生的概率為P（A）P（）；