Question

【題目】已知正方體的棱長為1，P是空間中任意一點，下列正確命題的個數是（ ）

①若P為棱中點，則異面直線AP與CD所成角的正切值為；

②若P在線段上運動，則的最小值為；

③若P在半圓弧CD上運動，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為；

④若過點P的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據異面直線的夾角求解，棱錐外接球的求解，以及正方體截面的性質，對選項進行逐一分析即可.

對于①，如圖所示，

由，可知即為異面直線AE與CD所成的角．

設正方體的棱長為2，連接BE，則在中，，

，故正確

對于②，將三角形與四邊形沿展開到同一個平面上，如圖所示．

由圖可知，線段的長度即為的最小值．

在中，利用余弦定理可得，故錯誤.

對于③，如下圖所示：

當P為中點時，三棱錐體積最大，

此時，三棱錐的外接球球心是AC中點，

半徑為﹐其表面積為．故正確.

對于④﹐平面與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，

只需與過同一頂點的三條棱所成的角相等即可，如圖所示：

．則平面PQR與正方體過點A的三條棱所成的角相等．

若點E，F，G，H，M，N分別為相應棱的中點，

可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六邊形EFGHMN為正六邊形．

正方體棱長為1，所以正六邊形EFGHMN的邊長為，

可得此正六邊形的面積為，為截面最大面積．

故正確的命題有3個．

故選：C.