Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點，點M為BB1的中點．

（1）求證：PB1⊥平面PAC；

（2）求直線CM與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明、即可；（2）建立空間直角坐標系，分別求出及平面的法向量的坐標，然后由公式計算即可．

（1）證明：在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB＝AD＝1，AA1＝2，

點P為DD1的中點，點M為BB1的中點，得PC2＝2，PB12＝3，B1C2＝5，

∴PC2+PB12＝B1C2，則PB1⊥PC，

同理PB1⊥PA，又PA∩PC＝P，

∴直線PB1⊥平面PAC；

（2）解：以D為坐標原點，分別以DC，DA，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

由已知可得，C（1，0，0），M（1，1，1），A（0，1，0），P（0，0，1），

，，，

設平面CAP的一個法向量為，

由，取z＝1，得．

設直線CM與平面PAC所成角為θ，

則．

∴直線CM與平面PAC所成角的正弦值為．