Question

【題目】已知函數，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．

（Ⅰ）當m=時，求f(x)的極值；

（Ⅱ）證明：函數f(x)有且只有一個零點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數極大值為，極小值為 ；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用導數，通過的符號，判斷出函數的單調性，找到極值點，可得結果.

（Ⅱ）計算，采用分類討論的方法，，以及，判斷函數的單調性，可得結果.

（Ⅰ）

，則在遞增，

在遞減，在上遞增，

所以函數極大值為，

極小值為．

（Ⅱ）

①當時，，

只有一個零點0，符合題意；

②當時，在單調遞增，

在單調遞減，在單調遞增，

，

令，，

顯然單調遞減，有，即，

則只有一個零點，符合題意；

③當時，在單調遞增，

在單調遞減，在單調遞增，

，，由②構造的函數知，

，

則只有一個零點，符合題意．

綜上所述，時，函數有且只有一個零點．