Question

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．

Answer 1

【答案】⑴ ⑵ ⑶圓過x軸上兩個定點和

【解析】

⑴ 可得，從而，，即

⑵ 求得即，從而得，代入雙曲線方程知：即可；

⑶ 可得的方程為：，求得，，

令，所以，

以MN為直徑的圓的方程為：，

于是，

即可得圓過x軸上兩個定點．

解：⑴ 雙曲線的漸近線方程為：

即，所以，

從而，，

所以

⑵ 設，則由條件知：，，即

所以，，

代入雙曲線方程知：

雙曲線的方程：

⑶ 因為，所以，由⑴知，，所以的方程為：，

令，所以，，令，所以，，令，所以，

故以MN為直徑的圓的方程為：，

即，

即，

若以MN為直徑的圓恒經過定點

于是

所以圓過x軸上兩個定點和