Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）的定義域為，對求導(dǎo)，分、和三種情況，分別討論，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）由（1）知有兩個極值點時，等價于方程有兩個不等正根，可求得，，及，，由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可知，令即可.

（1）的定義域為，求導(dǎo)得，

令，得，，

若時，，在上恒成立，單調(diào)遞增；

若時，，方程的兩根為，.

當時，，，則時，，故在單調(diào)遞增；

當時，，則或時，，故在和上單調(diào)遞增.

綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知有兩個極值點時，等價于方程的有兩個不等正根

，，，，

此時不等式恒成立，等價于對恒成立，

可化為恒成立，

令，

則，

，，，

在恒成立，在上單調(diào)遞減，

，

.

故實數(shù)的取值范圍是.