Question

已知函數f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+

3

cos2x-m，若f（x）的最大值為1．
（1）求m的值，并求f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊是a、b、c，若f（B）=

3

-1，且

3

a=b+c，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,余弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-m，依題意可求得m=1；利用正弦函數的單調性即可求得f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，由f（B）=

3

-1，可求得B=

π

6

，又

3

a=b+c，利用正弦定理化簡整理可得sin（A-

π

6

）=

1

2

，從而可求得A，繼而可判斷三角形的形狀．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+

3

cos2x-m
=2sin2xcos

π

3

+

3

cos2x-m
=sin2x+

3

cos2x-m=2sin（2x+

π

3

）-m，
又f（x）的最大值為1，
∴2-m=1，解得m=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調增區間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；
（2）在△ABC中，∵f（B）=

3

-1，∴2sin（2B+

π

3

）-1=

3

-1，即 sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∴2B+

π

3

=

2π

3

，解得B=

π

6

．
又

3

a=b+c，∴

3

sinA=sinB+sinC=

1

2

+sin（

5π

6

-A），化簡可得 sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A=

π

3

，C=

π

2

，
故△ABC為直角三角形．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的單調性與余弦定理，考查規范解答與運算求解能力，屬于中檔題．