Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為2

3

．
（I）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，試證明：無論直線AP繞點A如何轉動，以BD為直徑的圓總與直線PF相切．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知

a2=b2+c2 ab=2 3 a=2

，由此能求出橢圓C的方程和離心率．
（Ⅱ）設直線AP的方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0由此利用韋達定理、點到直線距離公式、直線與圓相切等知識點結合已知條件能證明無論直線AP繞點A如何轉動，以BD為直徑的圓總與直線PF相切．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由題意設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，F（c，0）．
由題意知

a2=b2+c2 ab=2 3 a=2

，
解得a=2，b=

3

，c=1． …..3分
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

．…5分
（Ⅱ）證明：由題意可設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．…6分
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．…7分
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．…8分
設點P的坐標為（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．    …10分
因為點F坐標為（1，0），
當k=±

1

2

時，點P的坐標為(1，±

3

2

)，點D的坐標為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．…11分
當k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點E到直線PF的距離：
d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因為|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上，無論直線AP繞點A如何轉動，以BD為直徑的圓總與直線PF相切．…14分

點評：本題考查橢圓方程和離心率的求法，考查圓總與直線相切的證明，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．