Question

用A（n，k）表示集合{1，2，…，n}的不含連續整數的k元子集的個數，求A（n，k）．

Answer 1

考點：子集與真子集

專題：集合

分析：首先求出集合{1，2，…，n}的k元子集的個數，然后再減去含有連續整數的k元子集的個數，即可求出A（n，k）；求集合{1，2，…，n}的含連續整數的k元子集的個數時，可以先從n個數中任選兩個連續的整數，然后在從剩下的n-2個整數中選取k-2個整數即可．

解答： 解：集合{1，2，…，n}的k元子集的個數為

C

k n

，
集合{1，2，…，n}的含連續整數的k元子集的個數為：（n-1）

C

k-2 n-2

，
所以A（n，k）=

C

k n

-（n-1）

C

k-2 n-2

=

n!

k!(n-k)!

-

(n-1)(n-2)!

(k-2)!(n-k)!

=

n!

k!(n-k)!

-

(n-1)!k(k-1)

k!(n-k)!

=

(n-1)!(n+k-k2)

k!(n-k)!

．

點評：本題主要考查了集合的子集個數問題，屬于中檔題，解答此題的關鍵是首先求出集合{1，2，…，n}的k元子集的個數，然后再求出含有連續整數的k元子集的個數．