Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1左，右焦點分別為F₁，F₂，點P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°．
①求△PF₁F₂的周長
②求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,余弦定理

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①根據橢圓的方程求得c，利用△PF₁F₂的周長L=2a+2c，即可得出結論；
②設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．

解答： 解：①∵a=5，b=3，∴c=4
∴△PF₁F₂的周長L=2a+2c=18；
②設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則由橢圓的定義可得：t₁+t₂=10
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
∴t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=28，
可得t₁t₂=12，
∴S△PF1F2=

1

2

×12×sin60°=3

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的定義，熟練利用解三角形的一個知識求解問題．