Question

12．定義在R上的函數f（x），已知函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，對任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則下列結論正確的是（　　）

• A． f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）
• B． $f（{log_2}5）＜f（{2^{0.3}}）＜f（{0.3^2}）$
• C． $f（{log_2}5）＜f（{0.3^2}）＜f（{2^{0.3}}）$
• D． $f（{0.3^2}）＜f（{log_2}5）＜f（{2^{0.3}}）$

Answer 1

分析 根據圖象平移以及對稱軸可以得出函數y=f（x）是偶函數，再根據單調性的定義得出f（x）在（-∞，0）上是單調減函數，由偶函數的性質得出f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，利用指數對數函數的單調性即可得出f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）．

解答 解：∵y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴y=f（x+1）的對稱軸x=-1向右平移1個單位可得y=f（x）的對稱軸x=0，
∴函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱，即函數y=f（x）為偶函數；
又對任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
則f（x）在（-∞，0）上是單調減函數，
所以f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
∵0＜0.3²＜1＜2^0.3＜2＜log₂5＜3
∴f（0.3²）＜f（2^0.3）＜f（log₂5）．
故選：A．

點評 本題考查了圖象平移以及偶函數的定義與性質的應用問題，也考查了指數、對數函數的單調性問題，是綜合性題目．